Succesió de Fibonacci

La successió de Fibonacci és una successió matemàtica de nombres naturals tal que cada un dels seus termes és igual a la suma dels dos anteriors. Aquesta successió fou descrita per primera vegada per Leonardo de Pisa (àlies Fibonacci) i cadascun dels seus termes rep el nom de nombre de Fibonacci.

Propietats

La successió de Fibonacci té moltes i molt variades propietats:

·         La raó (el quocient) entre un terme i l'immediatament anterior varia tota l'estona, però tendeix cap a un nombre irracional conegut com a "raó àuria" o nombre auri, que és la solució positiva de l'equació x²-x-1=0, i es pot aproximar per 1,618033989. I, en efecte, la raó entre el 20è i el 19è terme és 1,618033963, sent la diferència de només vint-i-sis milmilionèssimes.

·         A més, qualsevol nombre natural es pot escriure mitjançant la suma d'un nombre limitat de termes de la successió de Fibonacci, cadascun d'ells diferent dels altres. Per exemple, 17=13+3+1, 65=55+8+2.

·         D'altra banda, només un terme de cada tres és parell, un de cada quatre és múltiple de 3, un de cada cinc és múltiple de 5, etc. Això es pot generalitzar, de forma que la successió de Fibonacci és periòdica en les congruències mòdul m, per a qualsevol m.

·         Si F(p) és un nombre primer, p també és primer, amb una única excepció: F(4)=3, 3 és primer, però 4 no ho és.

·         La suma infinita dels termes de la successió F(n)/10ⁿ és exactament 10/89.

Juanjo Navarro